Будем исходить из того, что арендодатель не является предпринимателем, а  арендатор - организация (или предприниматель). Рассмотрим налоговые обязательства арендатора.
При выплате вознаграждения по договору арендатор должен удержать НДФЛ (подп. 4 п. 1 ст. 208, п. 1, 2 ст. 226 НК РФ). Страховые взносы нужно начислять, но только в части оплаты услуг по управлению машиной (ч.1 ст. 7 Закона от 24.07.2009 № 212-ФЗ). Поэтому в договоре нужно выделить плату за управление отдельной суммой. 
С сумм возмещения арендодателю расходов, связанных с эксплуатацией машины (топливо, сборы за проезд и т.д.) НДФЛ и страховые взносы не уплачиваются (ст. 636 ГК РФ, п.3 ст. 217 НК РФ, подп. "ж" п. 2 ч. 1 ст. 9 Закона N 212-ФЗ, подп.2 п.1 ст. 20.2 Закона № 125-ФЗ). Но эти расходы должны быть подтверждены документально.
Отметим также, что лучше не называть ваш договор договором аренды с экипажем. По нормам Гражданского кодекса  члены экипажа должны быть работниками арендодателя (п.2 ст. 635 ГК РФ). Оформите просто комплексный договор, включающий в себя аренду авто и услуги водителя (п.3 ст. 421 ГК РФ).  В плане налогообложения это ничего не изменит.