1) Если бюджетное или автономное учреждение является федеральным (то есть создано Российской Федерацией <п. 2 ст. 123.21 ГК РФ>), то для целей возмещения командировочных расходов оно обязано руководствоваться предельными размерами, установленными Постановлением Правительства от 02.10.2002 N 729 <ст. 168 ТК РФ, п. 1 Постановления Правительства от 02.10.2002 N 729>.
Бюджетные и автономные учреждения, созданные субъектом РФ либо муниципальным образованием, для указанных целей должны руководствоваться региональными нормативными правовыми актами регионального либо местного значения <ст. 168 ТК РФ>.
Примеры нормативных актов: Постановление Правительства Новосибирской области от 06.04.2015 N 129-п "О порядке и размерах возмещения расходов, связанных со служебными командировками, … работникам государственных учреждений Новосибирской области", Положение о порядке и размерах возмещения расходов, связанных со служебными командировками работников организаций, финансируемых из бюджета Егорьевского муниципального района Московской области, утв. Постановлением главы Егорьевского муниципального района МО от 28.04.2007 N 1019.
Самостоятельно установить размеры возмещения расходов по проживанию в служебной командировке бюджетные и автономные учреждения не могут, даже за счет средств от деятельности, приносящей доход. Трудовой кодекс РФ такого права не предусматривает. А письма Минфина, на которые Вы ссылаетесь, изданы по старой редакции ТК РФ.
2) Расходы командированных сотрудников на проживание в гостинице для целей налогообложения являются расходами по найму жилого помещения <подп. 12 п. 1 ст. 264 НК РФ, Письмо Минфина от 21.04.2014 N 03-03-06/1/18202>.