Нельзя. В трудовую книжку делаются записи лишь по сотрудникам, работающим по трудовым договорам, на основании соответствующих приказов работодателя (в частности, о приеме на работу, переводе, увольнении, награждении) <ч. 8 ст. 11, ст. 66 ТК РФ; п. 4 Правил, утв. Постановление Правительства от 16.04.2003 № 225; пп. 3.1, 5.1 Инструкции, утв. Постановлением Минтруда от 10.10.2003 № 69>.

Обратите внимание, что заключение гражданско-правовых договоров, фактически регулирующих трудовые отношения между работником и работодателем, не допускается <ст. 15 ТК РФ>. Такие отношения могут быть признаны судом трудовыми <Апелляционное определение Красноярского крайсуда от 09.02.2015 № 33-1157/2015, А-9>. Как следствие, работодателя могут обязать заключить трудовой договор, выплатить работнику положенные по трудовому законодательству суммы и доплатить страховые взносы во внебюджетные фонды.