Данный вопрос в законодательстве не урегулирован. По мнению Минтруда, это может сделать следующий работодатель  по новому месту работы (письмо Минтруда от 29.04.2015 N 14-2/В-307). Но для этого ему нужны:
    (или) официальные документы  от прежнего работодателя. Например, приказ об увольнении работника;
    (или) документы из городского архива, подтверждающие ликвидацию организации;
    (или) решение суда, принятого в порядке особого производства, об установлении факта прекращения трудовых отношений.
    Обращаться в архив или суд, разумеется, придется самому работнику. 
    Отметим, что при плановой ликвидации таких проблем обычно не возникает, поскольку все работники, как правило, увольняются одной датой. Если же кадровик по каким-то причинам уволился раньше, то можно сделать приказ о возложении обязанностей по ведению и выдаче трудовых книжек на любое другое лицо (п.45 Правил, утв. Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 N 225). Тем более, что сегодня использование печати при заверении записей в трудовых книжках для АО и ООО уже не обязательно (п. 7 ст. 2 Закона от 26.12.95 N 208-ФЗ, п. 5 ст. 2 Закона от 08.02.98 N 14-ФЗ). Хотя Роструд с этим и не согласен (письмо Роструда от 15.05.2015 N 1168-6-1).