Записи о приеме на работу и об увольнении вносятся в трудовую книжку на основании приказов о приеме на работу и об увольнении соответственно <пп. 3.1, 5.1 Инструкции, утв. Постановлением Минтруда от 10.10.2003 N 69>. Поэтому у вас нет никаких оснований не делать работнику записи в трудовую книжку.
Однозначного ответа на вопрос, можно ли продлевать срочный трудовой договор, нет. Есть точка зрения, что до истечения срока трудового договора с работником можно заключить дополнительное соглашение к нему об изменении срока его действия, если не отпали обстоятельства, в связи с которыми договор заключен на определенный срок < Письмо Роструда от 31.10.2007 N 4413-6>. Но в целом не более чем на 5 лет <ст. 58 ТК РФ>.
Сформулировать условие о продлении срока трудового договора в дополнительном соглашении можно так.
┌────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│Работник и работодатель договорились, что  трудовой  договор  от│
│01.01.2014 N 3 заключен на срок до 01.01.2017.                  │
└────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Что касается судебной практики, то одни суды полагают, что продление срока договора в такой ситуации не свидетельствует о неоднократном заключении срочного трудового договора, влекущем для работодателя признание трудового договора заключенным на неопределенный срок <Определения ВС Республики Коми 28.09.2015 № 33-5175/2015, ВС Чувашской Республики от 23.12.2013 N 33-4638/2013>.
Другие суды считают, что продление срочного трудового договора нарушает права работника. И признают продленный срочный трудовой договор заключенным на неопределенный срок <Определение Мосгорсуда от 06.02.2012 N 4г/3-114/12>.