Прошивать трудовой договор не обязательно. Трудовое законодательство такого требования не содержит.
Что касается сдачи документов в архив при ликвидации, то закон требует от вас лишь сдачи документов в упорядоченном состоянии (п.10 ст. 23 Закона от 22.10.2004 N 125-ФЗ). Все остальное определяется договором, который вы должны заключить с соответствующим государственным или муниципальным архивом. Если вы
будете организовать упорядочение сами, то все документы надо будет прошить, систематизировать, сделать описи и историческую справку. В каком именно порядке – лучше спросить у архивариуса. Кстати, за отдельную плату они могут сделать все за вас, есть и коммерческие организации, специализирующиеся на оказании таких услуг.