Да, чек на аванс нужен (ст. 1.1, п. 1 ст. 1.2 Закона от 22.05.2003 № 54-ФЗ). При этом, поскольку вам известно, за что именно платят ваши клиенты, нужно указать признак способа расчетов - «предоплата 100%», а не «аванс». Также необходимо указать имеющиеся сведения о предмете расчета (оказываемой услуге) (Письмо Минфина от 14.06.2017 N 03-01-15/36865, ФНС от 26.09.2017 N ЕД-4-20/19343@, таблицы 28 и 29  Приложения № 2 к приказу ФНС от 21.03.2017 N ММВ-7-20/229@).
Пробивать второй чек нужно на дату передачи предмета расчета. При оказании услуг такой датой обычно является дата подписания акта о выполнении оплаченного объема услуг по договору. В сумме расчета по чеку покажите, что оплата прошла не наличными или безналичными, а зачетом предоплаты. 
 
Вы вправе также вместо выдачи закрывающего чека каждому клиенту пробить один кассовый чек со сведениями о всех таких расчетах за месяц. Сделать это надо не позднее 10 календарных дней, следующих за днем окончания расчетного периода. Клиентам такой чек не выдается (п.2.1 ст. 1.2 Закона от 22.05.2003 № 54-ФЗ).
 
Отметим также, что образовательные организации, оказывающие услуги населению в сфере образования, освобождены от применения ККТ при безналичных расчетах без предъявления платежной карты (п.13 ст. 2 Закона от 22.05.2003 № 54-ФЗ). 
Образовательной признается некоммерческая организация, ведущая образовательную деятельность на основании лицензии в качестве основного вида деятельности (п. 18 ст. 2 Закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ). Таким образом, если ваше учреждение подпадает под это определение, то получив деньги на банковский счет, ККТ вы вправе не применять.